Yöneylem Araştırması

Yanıt Açıklaması: Uygun C¸özüm Alanı, dışbükey(konveks) bir alandır. Doğrusal programlamada optimum çözüm her zaman, Uygun C¸özüm Alanının köşe noktalarındadır. Doğru cevap D'dir.

Yanıt Açıklaması: Bir önceki bölümde görüldüğü gibi, çok farklı alanlardaki problemler doğrusal programlamada, karar modeli olarak modellenebilmektedir. Doğrusal programlama, amaç fonksiyonunu etkileyen kısıtlayıcıların bulunması ve bunların doğrusal eşitlik ve eşitsizlikler olarak verilmesi durumunda, amaca en iyi bir biçimde ulaşılması için, kıt kaynakların en verimli şekilde kullanılmasını sağlayan bir matematiksel yöntemdir. Böyle bir programlama sürecinde, önce gerekli veriler toplanır, probleme ait bir model kurulur ve modelin çözümü araştırılır. Bu çözümler, kurulmuş olan modelin yapısına bağlı olarak tek bir çözüm ya da seçenekli çözüm olabilir. Hatta modelin hiçbir çözümü bulunmayabilir. Karar modeli açısından her uygun çözüm bir seçenek, Uygun Çözüm Alanı ise seçenekler kümesi anlamındadır. Uygun Çözüm Alanı üzerinde Xj’lere göre, amaç fonksiyonunun maksimum (en büyük) veya minimum (en küçük) değerini aldığı Xj’lere optimum (en iyi) çözüm seti, amaç fonksiyonuna karşı gelen değerine optimum (en iyi) değer denir.

Yanıt Açıklaması: Problem en büyükleme problemi olduğu için amaç fonksiyonu satırındaki tüm değerlerin sıfır ve sıfırdan büyük olması sebebiyle en iyi çözüme ulaşılmıştır. Böylelikle amaç fonksiyonu satırı ve STS sütununun keşistiği yerdeki değer amaç fonksiyonunun aldığı dğeri vermektedir. 125 doğru cevaptır, doğru cevap C'dir.

Yanıt Açıklaması: Uygun Çözüm Alanı dışbükey(konveks) bir alandır. Dışbükey alanın temel özelliği, bu alan içinde iki nokta ele alınıp bir doğru parçasıyla birleştirildiğinde, birleştiren doğru parçasının tamamının alan kalmasıdır. Doğru cevap A seçeneğidir.

Yanıt Açıklaması: Bir doğrusal programlama modelinin tüm kısıtlarını sağlayan her X vektörüne, uygun çözüm denir. Bir önceki bölümde görüldüğü gibi, çok farklı alanlardaki problemler doğrusal programlamada, karar modeli olarak modellenebilmektedir. Doğrusal programlama, amaç fonksiyonunu etkileyen kısıtlayıcıların bulunması ve bunların doğrusal eşitlik ve eşitsizlikler olarak verilmesi durumunda, amaca en iyi bir biçimde ulaşılması için, kıt kaynakların en verimli şekilde kullanılmasını sağlayan bir matematiksel yöntemdir. Böyle bir programlama sürecinde, önce gerekli veriler toplanır, probleme ait bir model kurulur ve modelin çözümü araştırılır. Bu çözümler, kurulmuş olan modelin yapısına bağlı olarak tek bir çözüm ya da seçenekli çözüm olabilir. Hatta modelin hiçbir çözümü bulunmayabilir. Uç(köşe) Nokta Teoremi: Grafik üzerinde Uygun Çözüm Alanının (UÇA) farklı iki noktasının dışbükey birleşimi olarak yazılamayan noktası varsa, buna uç nokta veya köşe nokta denir. Düzlemde bir üçgenin, bir karenin köşeleri uç (köşe) noktadır.

Yanıt Açıklaması: Doğrusal bağımsız vektörlerden oluşan, m denklem ve n değişkenin olduğu (mxn’lik ve m

Yanıt Açıklaması: Aşağıdaki fonksiyonlardan ilk fonksiyon  doğrusal yapıya sahiptir, Doğru cevap C'dir.

Yanıt Açıklaması: s 1 , s 2 , s 3 değerlerinden anlaşılacağı üzere 3 kısıt mevcutttur.

Yanıt Açıklaması: Ekonomide üretim kaynakları veya üretim faktörleri sınırlıdır. Bir işletmenin elindeki makine kapasitesi, teknolojisi, işgücü, enerji, sermaye, hammadde, yarı mamul madde, malzeme gibi üretim faktörleri ile ürünlerine olan talep de sınırlıdır. Dolayısıyla karar değişkenlerinin miktarı da sınırlı olacaktır. Önemli olan, bu kısıtlayıcılar altında amaç fonksiyonunu sağlayan ürünler üretmektir.

Yanıt Açıklaması: x1+2x2=6 doğrusu ele alınırsa x1=0 için 2x2=6 x2=3 (0,3)  ve x2=0 için x1=6 (6,0) bulunur. Yani bu doğru apsisi (6,0) ve ordinatı (0,3) noktalarında kesmektedir. 2x1+x2=8 doğrusu ele alınırsa x1=0 için x2=8 (0,8) ve x2=0 için 2x1=8 x1=4 (4,0) bulunur. Yani bu doğru apsisi (4,0) ve ordinatı (0,8) noktalarında kesmektedir. Uygun çözüm alanını bulmak için  çizilecek grafik şu şekildedir: Uygun çözüm alanındaki D noktasını bulmak için iki denklemi taraf tarafa toplayıp x1 ve x2 değerlerini elde etmeye çalışırız. Bunun için ilk denklemi (-2) ile çarpıp ikinci denklemle toplarsak; (-2)/ x1+2x2=6 2x1+x2=8 Buradan da  -3x2=-4 ve x2=4/3 bulunur. İkinci denklemde bu yerine yazılırsa 2x1=20/3  x1=10/3 olarak elde edilir. Yani D noktası (10/3, 4/3)’tür. Amaç en büyükleme olduğu için orjinden uzaktaki noktalarda çözüm araştırılır. Burada da B, C ve D noktaları için amaç fonksiyonu değerleri karşılaştırılarak en büyük değeri sağlayan nokta optimum çözüm olarak benimsenir. B(4,0) noktası için maxz=x1+x2=4+0=4 C(0,3) noktası için maxz=x1+x2=0+3=3 D(10/3, 4/3) noktası için maxz=x1+x2=10/3+4/3=14/3 bulunur. D(10/3, 4/3) noktası için bulunan değer en büyük olduğu için bu nokta optimum olarak kabul edilir.

Yanıt Açıklaması: Doğrusal programlamada optimum çözüm her zaman, Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarındadır. Doğru cevap B'dir.

Yanıt Açıklaması: Simpleks Algoritması’nı uygulayabilmek için verilen denklem sisteminin kısıtlarının eşitlik haline getirilmesi gerekir. Simpleks algoritması ile çözüm aranırken, bir eşitliğin sıfırdan farklı herhangi bir katının başka bir eşitliğe eklemesi ve çıkarılması ile bir eşitliğin sıfırdan farklı bir sabit sayı ile çarpılması ve bölünmesi işlemleri yapılmaktadır. Bir eşitliğin başka bir eşitlik ile çarpılması işlemi yapılamamaktadır.

Yanıt Açıklaması: Bir problemin, doğrusal programlama modeli kurulurken önce karar değişkenleri tanımlanır, sonrada amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılar formüle edilir.

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması: Verilen ifadelere bakıldığında, en uygun çözümün bir uç (köşe) nokta olması gerektiğinden grafik çözümün temel esasları I, II ve IV' de doğru olarak verilmiştir.

Yanıt Açıklaması: En büyük akış, maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan diğerine eniyi (en büyük akışı sağlayacak) şekilde taşınması problemi ile ilgilenir. Su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından taşınması, elektriğin taşınması, haberleşme sistemlerinde bilgi akışının sağlanması ya da kargo işletmelerinde mektupların alıcıya taşınması gibi problemler, bu kapsamda yer almaktadırlar.

Yanıt Açıklaması: AX=b şeklindeki, doğrusal bağımsız vektörlerden oluşan, m denklem ve n değişkenin olduğu (mxn’lik ve m

Yanıt Açıklaması: Modelde kısıtlar eşitsizlik olarak verilmiştir. Simpleks Algoritması ile çözüm için kısıtlar eşitlik haline dönüştürülmelidir. Birinci kısıt küçük eşitlik, ikinci kısıtta büyük eşitlik olarak verildiğinden çözüm aşağıdaki gibi olur.

Yanıt Açıklaması: Herhangi bir ardıştırmadan sonra tekrar, x 0 satırında eniyilik koşullarının sağlanıp sağlanmadığı kontrol edildiğinde, tüm değerlerin sıfır veya sıfırdan büyük olması durumunda, eniyi çözüme ulaşılmıştır ve temele alınması halinde amaç fonksiyonu değerini daha iyiye götürecek bir temel dışı değişken bulunmamaktadır. Bu nedenle doğru yanıt a) seçeneğidir.

Yanıt Açıklaması: Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarında karar değişkenlerinin ve amaç fonksiyonunun değeri hesaplanarak amacı sağlayan köşe, optimum çözüm noktası olarak ilan edilir. Daha sonra optimum çözüm seti (amaç fonksiyonu ve karar değişkenlerinin değeri) yazılarak çözüme ulaşılmış olur.