Sembolik Mantık

Yanıt Açıklaması: Bazı içecekler ne sıcaktır ne de soğuktur. Önermesinde niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyicileri ve önerme eklem sembollerini koyarsak, Bazı x (x içeçekler ve (değildir x sıcaktır) ve (değildir x soğuktur) olur. Burada da niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyici ve önerme eklem sembollerini yazarsak, x (x içeçektir ˄ (~x sıcaktır ˄ ~x soğuktur)) elde edilir. Ad ve yüklem sembollerini koyarsak, x ( Fx ˄ (~ Gx ˄ ~ Hx)) elde edilir.

Yanıt Açıklaması: Önerme hem önbileşeni hem de ardbileşeni niceleyici olan bir koşullu önerme olduğundan önce önbileşeni tanım gereği kümenin elemanlarına göre Fa ∨ Fb şeklinde indirgememiz gerekir. Sonra da ardbileşeni yine tanım gereği (FA → Ga) ∧ (FA → Gb) şeklinde indirgememiz gerekir. Önbileşen ver ardbileşeni koşul ifadesiyle birleştirip yazdığımızda ise karşımıza (Fa ∨ Fb) → ((FA → Ga) ∧ (FA → Gb)) önrmesi çıkar. Doğru yanıt A seçeneğidir.

Yanıt Açıklaması: Çözümleyici çizelge yöntemiyle sonlu sayıda bir grup önermenin birlikte tutarlı olduğunu göstermek için, bu önermelerden ad sembolleri yerine elemanların konmasıyla elde edilen ifadeleri, kök noktasından itibaren alt alta yazar ve ardından model oluşturma kurallarına göre ilerleriz. Çizelge tamamlandığında tüm dallar kapanıyorsa, bu önermelerin tümünü doğru yapan bir model yoktur ve dolayısıyla bu önermeler birlikte çelişiktir.

Yanıt Açıklaması: Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Yanıt Açıklaması: t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir formüldür, A bir formül ise ~A bir formüldür, A ve B birer formül ise, (A ^ B), (A ? B), (A › B) ve (A - B) birer formüldür. ? bir değişken A bir formül ise, ? A ve ? A birer formüldür,Başka hiçbir sembol dizisi bir formül değildir.

Yanıt Açıklaması: F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Bazı şeyler F dir” önermesini ele alalım: Bizim hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “her şey”, S = {a, b, c} kümesinin elemanları ise, “Bazı şeyler F dir” yani “En az bir şey F dir” demek, “Ya a, ya b, ya da c F dir” demektir. “Bazı şeyler F dir” önermesi sembolik olarak ∃x Fx ile gösterilmektedir.

Yanıt Açıklaması: “Haftanın bazı günleri tatildir” önermesinin değili “Haftanın bazı günleri tatil değildir” önermesi değil, “Haftanın hiçbir günü tatil değildir” önermesidir. Çünkü çoğu durumda, hem “Haftanın bazı günleri tatildir” önermesi hem de “Haftanın bazı günleri tatil değildir” önermesi birlikte doğrudur. Ancak bir önerme, değili ile birlikte aynı anda doğru olamaz.

Yanıt Açıklaması: Sembolik önermelerin biçimini belirtmek için kullanılan parantezlerin aşırı kullanımı okumayı güçleştirdiğinden, belirsizliğe yol açmayan kimi parantezler yazılmayabilir. Sembolik önermelerin en dış parantezleri yazılmayabilir ve eklemler arasında ~, ˄, ˅, →, ↔ öncelik sırası gözeterek çoğu parantez kaldırılabilir.

Yanıt Açıklaması: Önermelerin özne-yüklem yapısını ve “her”, “bütün”, “bazı”, “kimi” gibi ifadeleri ele alan mantık sistemine niceleme mantığı denir.

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması: Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edilebilir. Nitekim “İnsan ölümlüdür” dediğimizde aslında “Her insan ölümlüdür” demek isteriz. “Cisimler ısıtılınca genleşir” önermesi de, “Her cisim ısıtılınca genleşir” anlamına gelir.

Yanıt Açıklaması: Gündelik dilde bir yüklemin işlevi, kimi varlıkların sahip olduğu, kimi varlıkların sahip ise sahip olmadığı bir özelliği dile getirmektir. Yüklemlerin niceleme mantığının sembolik dilindeki karşılığı, yüklem sembolleridir. Bu nedenle, bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanması demek, o yüklem sembolünün kümedeki hangi elemanlara doğru olarak uygulanabileceğini belirtir.

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması: Nicelemeli bir sembolik önermenin geçerli olduğunu göstermek için, önermenin değilinin model oluşturma kurallarına göre oluşturulan tamamlanmış çözümleyici çizelgesinin kapalı olması gerekir.

Yanıt Açıklaması: Öncül önermeler kullanılarak doğru olma olasılığı yüksek bir sonuç önermesi elde etmeye Tümevarım denir.

Yanıt Açıklaması: Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her” kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler: Her insan ölümlüdür. Tüm insanlar ölümlüdür. Bütün insanlar ölümlüdür. Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edilebilir. Nitekim “İnsan ölümlüdür” dediğimizde aslında “Her insan ölümlüdür” demek isteriz.

Yanıt Açıklaması: Bir nicelemeli sembolik önermeyi bir modelde denetleyebilmek için önce önermenin o modelin evreninde açılımını oluşturmalıyız.

Yanıt Açıklaması: “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi değil, “Hiçbir F G değildir” önermesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Çoğu durumda, hem “Bazı F G dir” önermesi hem de “Bazı F G değildir” önermesi birlikte doğrudur. Örneğin, hem “Bazı insanlar filozoftur” önermesi hem de “Bazı insanlar filozof değildir” önermeleri doğrudur. Buna göre, “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi olamaz çünkü değilleme kuralları gereği A ve ~A önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz.

Yanıt Açıklaması: Ǝ x (Gy v ∀ z Hz) formülünde x için serbest geçiş vardır bu yüzden açık formüldür.

Yanıt Açıklaması: Gündelik dilde, “Bazı” kelimesi yerine “kimi” , “en az bir” ifadeleri de tikel-niceleyici anlamında kullanılır. Tümel-niceleyiciyle eşanlamlı kullanabildiğimiz “bir” ifadesi kimi durumlarda tikel-niceleyiciyi ifade etmek içinde kullanılır. “Bir sayı çift ise iki ile bölünür” yerine “Her çift sayı iki ile bölünür” anlamındadır ve tümel-niceleyici bir önermedir.