Matematiksel İktisat

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması: Belirli bir toplam maliyetle en fazla ürün elde edilmek istendiğine göre; amaç fonksiyonu üretim fonksiyonu, kısıtı ise toplam maliyet fonksiyonu olan bir optimizasyon problemiyle karşı karşıyayız. Bu halde Langrange ifademiz şu şekilde olacaktır: L= K 0.6 L 0.4 + ?(3000-15K-5L) Şimdi birinci kısmi türevleri alalım: L K =0.6(L/K) 0.4 -15?=0 ve buradan 0.6(L/K) 0.4 =15? L L =0.4(K/L) 0.6 -5?=0 ve buradan 0.4(K/L) 0.6 =5? İçinde ? olan ifadeleri taraf tarafa bölersek: 1.5*(L/K)=3 L/K=2 ve buradan L=2K çıkar. Şimdi bunu maliyet fonksiyonuna yazalım: 3000=15K+5L ve L=2K olduğu için 3000=15K+10K=25K ve buradan K=120 olur.

Yanıt Açıklaması: İlk önce TR’nin Q 1 ve Q 2 ’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ?TR/?Q 1 = 8Q 1 - 2Q 2 – 4 ve  ?TR/?Q 2 =2Q 1 - 10Q 2 bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde 8Q 1 – 2Q 2 - 4 = 0 ve 2Q 1 - 10Q 2 =0 eşitliğini elde ederiz. Her iki fonksiyonun iki tarafını 2’ye böldüğümüzde 4Q 1 –Q 2 - 2 = 0 ve Q 1 - 5Q 2 =0 fonksiyonlarını elde ederiz. Q 1 = 5Q 2 eşitliğini ilk denklemde yerine yazarsak 20Q 2 – Q 2 - 2 = 0 eşitliğini buluruz. Buradan Q 1 = 2/19 ve Q 2 =10/19 sonucunu elde ederiz.

Yanıt Açıklaması: Dışa kapalı ekonomide milli gelir dengesi aşağıdaki şekilde elde edilir: Y=C+I+G Y=C_0+I_0+G_0 Y=C_0+cY?+I?_0+G_0 Y=C_0+cY?+I?_0+G_0 Y=1/(1-c) (C_0 ?+I?_0+G_0 ) elde edilir. Bu denklemde Çarpan=1/(1-c)=1/(1-0,9)=1/0,1=10 şeklinde hesaplanır.

Yanıt Açıklaması: Kritik nokta için bir fonksiyonun 1. türevinin sıfıra eşit olması gerekir. A şıkkındaki fonksiyonun birinci türevi 2x'tir. 2x=0 ise x=0 bu denklemin tek çözümüdür ve fonksiyonun tek kritik noktası vardır. B şıkkındaki fonksiyonun türevi 3'tür, yani hiç kritik noktası yoktur. C şıkkındaki fonksiyonun türevi 3x 2 'dir. 3x 2 =0 ise x=0 bu denklemin tek çözümüdür, yani tek kritik nokta bulunmaktadır. Yine D şıkkındaki fonksiyonun türevini sıfıra eşitleyen tek sayı vardır (2x-6=0, x=3). Fakat E şıkkındaki fonksiyonun türevi 3x 2 -12x=0 olup bu denklemi sağlayan x=0 ve x=4 olmak üzere iki kök bulunmaktadır. Bu nedenle doğru cevap E şıkkıdır.

Yanıt Açıklaması: Matrisin evriği matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirmesi işlemidir. Buna göre A matrisinin boyutu 3x2 olduğundan evriğinin boyutu 2x3 olmalıdır. A matrisinin 1. Sütununda yer alan elemanlar olan 3 4 6 evriğinde 1. Satırda yer alacaktır. A matrisinin 2. Sütununda yer alan elemanlar 2 7 5 evriğinde 2. Satırda yer alacaktır. Doğru cevap A seçeneğindeki matristir.

Yanıt Açıklaması: Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. ?=24Q - 3Q 2 - (3Q 2 - 13 )= -6Q 2 +24Q + 13 . Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise -12Q + 24 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. -12Q + 24 = 0 buradan Q = 2 olduğunu buluruz. Toplam hasılayı bulabilmek için bu Q değerini toplam hâsıla fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam hâsıla fonksiyonundan TR(2)= 24*2 - 3*4 = 48 - 12 = 24 sonucunu buluruz. Cevap A şıkkıdır.

Yanıt açıklaması yok

Yanıt Açıklaması: (15, 0) ve (7, -8) noktalarından geçen doğrusal denklemin eğimini bulmak için a= (y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) formülü kullanılır. buna göre a=(-8-0)/(7-15) = -8/(-8) = 1 Cevap B şıkkıdır.

Yanıt Açıklaması: Üç değişkenli bir fonksiyon (x1, x2, x3) bağımsız değişkenleri ve z bağımlı değişkeni göstermek üzere z = f(x1, x2, x3) şeklindedir. Bu tip fonksiyonlarda yerel maksimum ya da yerel minimum değerlerin bulunması için aşağıdaki adımlar izlenir. I. Birinci mertebeden kısmi türevler alınır ve eşanlı olarak sıfıra eşitlenir. Bu sıfıra eşitleme sonucu birinci mertebeden kısmi türevini sıfır yapan değerler bulunur. Bu değerler (a, b, c) ise ikinci mertebeden kısmi türevlerine bakılır. II. z = f(x1, x2, x3) fonksiyonun ikinci mertebeden kısmi türevleri aşağıdaki gibi elde edilir. (a, b, c) değerlerinin yerel maksimum ya da minimum olup olmadığına karar verebilmek için Hessian matrisi oluşturulur ve asal minörlerinin işaretine bakılır. Asal minörlere bakıldığında oluşan Hessian matrisi negatif belirli ise bu durumda (a, b, c) değerlerinin amaç fonksiyonunu maksimum kılan değerler olduğu söylenir.

Yanıt Açıklaması: Tek değişkenli bir fonksiyonun genel gösterimi; x bağımsız değişkeni (seçim değişkeni ya da karar değişkeni) ve y bağımlı değişkeni (sonuç değişkeni) göstermek üzere y = f (x) şeklinde gösterilir (y = f (x) fonksiyonunun sürekli ve iki kere türevlenebilir olduğu varsayılacaktır.). Bu şekilde ifade edilen doğrusal olmayan fonksiyonun maksimumu ya da minimumu olup olmadığına karar verebilmek için gerekli koşul birinci türevini sıfır yapan kritik nokta ya da noktaların belirlenmesidir. Bu gerekli koşul sağlanınca ikinci türev alınarak maksimum ve minimum için yeterli koşul sağlanmış olur. Alternatif olarak birinci türevinin artan ve azalan olduğu aralıkların incelenmesi yoluyla da belirlenebilir. Bu ünitede maksimum ve minimum dışındaki kritik noktalar optimizasyonu ilgilendirmediği için incelenmeyecektir.

Yanıt Açıklaması: Verilen A ve B matrisleri 3x2 boyutunda matrislerdir. Yani 3 sütun ve 2 satırdan oluşmaktadır. Bu yüzden toplamları aynı boyutlarda 3x2 boyutlarında matris sonucunu verecektir. Bu matris kare bir matris değildir bu yüzden determinantı da yoktur. A ile B matrisinin toplamı matrisidir. İlk terimi 14 ve son terimi 12’dir.

Yanıt Açıklaması: İki değişkenli bir fonksiyonun minimum değerini alabilmesi için 1. dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması ve 2. dereceden kısmi türevlerden oluşan Hessian matrisinin determinantı ile asal minörlerinden en az birinin pozitif olması gerekir. İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alalım: f x =2x-4=0,   2x-4=0,  x=2 f y =2y-6=0,   2y-6=0,  y=3 olacaktır. Yani aradığımız ikili eğer diğer koşulları da sağlıyorsa (2,3) ikilisidir. Şimdi diğer koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek için 2. derece kısmi türevleri ve Hessian matrisini elde edelim: f xx =2  f xy =0 f yx =0  f yy =2 ve bu durumda Hessian matrisimiz: görüldüğü üzere hem determinantı, hem asal minörleri (2,2) pozitif olan bir matristir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Yanıt Açıklaması: İki değişkenli bir fonksiyona ilişkin Hessian matrisinin determinantı negatifse ne maksimum ne de minimum değerini alır. Eğer söz konusu determinant sıfıra eşitse hiçbirşey söylenemez. Ancak Hessian determinantı pozitifse: f xx ve f yy asal minörleri pozitif olduğunda fonksiyon minimum değerini, bu asal minörler negatif olduğunda ise fonksiyon maksimum değerini alır. Bu nedenle doğru cevap E şıkkıdır.

Yanıt Açıklaması: İki matris veya vektörün eşit olabilmesi için, her ikisinin hem aynı boyutta yani aynı satır ve sütun sayısına sahip olması ve her iki matrisin karşılık gelen satır ve sütun elemanlarının birbirine eşit olması gerekir. Buna göre; x=5,y=7 ve z=2 olur. Bunların toplamları 14’tür.

Yanıt Açıklaması: Tek bir satır veya sütundan oluşan matrislere de vektör denir. Eğer matris tekbir sütundan oluşuyorsa sütun vektör; buna karşılık tek bir satırdan oluşuyorsa satır vektör olarak adlandırılır. Örneğin, m x 1 boyutundaki bir matris sütun vektör iken; 1 x n boyutundaki bir matris satır vektördür. Doğru cevap D'dir.

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması: İlk önce TC’nin Q 1 ve Q 2 ’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ?TC/?Q 1 = 8Q 1 - 2Q 2 – 4 ve  ?TC/?Q 2 =2Q 1 – 8 bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde 2Q 1 – 8 = 0 eşitliğinden Q 1 =4 ve 8Q 1 - 2Q 2 – 4=0 eşitliğinden 8*4 - 2Q 2 – 4=0 ve buradan Q 2 = 14 sonucunu buluruz.