Sembolik Mantık

Yanıt Açıklaması: Aşağıdakilerin her biri ? x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy - HB) çıkarımını denetleyebileceğimiz bir modeldir: (a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {a}, AM = a, BM = a (b) SM = {a, b,c}, FM = GM = HM = {a}, AM = a, BM = b (c) SM = {a, b}, FM = { }, GM= {a}, HM = {b}, AM = b, BM = b

Yanıt Açıklaması: Nicelemeli bir sembolik önermenin verilen bir modeldeki doğruluk değerini çözümleyici çizelge yöntemi ile hesaplamak için ilk olarak, önermede geçen ad sembolleri yerine, bunların modelde karşılığı olarak verilen elemanları yazarak elde ettiğimiz ifadeyi, çözümleyici çizelgenin 1 numaralı kök noktasına yazarız. Ardından tümel ve tikel-nicelemenin açılımı kurallarını, niceleyici değilleme kurallarını ve önerme eklemlerine ait çözümleyici çizelge kurallarını kullanarak ilerleriz. Buna göre ilk yapılması gereken önermede geçen ad sembolleri yerine bunların modelde karşılığı olarak verilen elemanların yazılmasıdır.

Yanıt Açıklaması: “Bazı F ler G değildir” önermesi “Bazı şeyler, F dir ve G değildir” ya da, daha açık bir ifade ile, “Bazı şeyler için, o şey bir F dir ve bir G değildir” biçiminde yorumlanır ve ∃x (Fx ∧ ~ Gx) biçiminde sembolleştirilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

Yanıt Açıklaması: “Hiç bir F, G değildir.” önermesi, “Her şey, eğer F ise G değildir” ya da, daha açık bir ifade ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey G değildir” biçiminde yorumlarsak, Ɐx (Fx → ~Gx) biçiminde sembolleştirilir.

Yanıt Açıklaması: Önermeler mantığınndan bildiğiniz gibi, bir A önermesi ile bu önermenin değili olan ~A önermesi arasındaki ilişki şudur: A doğru ise ~A yanlış, A yanlış ise ~A doğrudur. “Değilleme kuralları” diyebileceğimiz bu kurallar her A önermesi için geçerlidir. Dolayısıyla A nicelemeli bir önerme olduğunda bu kuralların sağlanması gerekir.

Yanıt Açıklaması: Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için yapılması gereken kök noktasından başlayarak, öncüllerde ve sonucun değilinde ad sembolleri yerine birer eleman yazarak oluşturulan ifadeleri yazarak oluşturulan çizelgede en az bir açık dal olmalıdır.

Yanıt Açıklaması: x(Fx→ ̴ Gx)˄Ɐx((Fx˄Hx)→Kx) önermesi bazı ile başlamaktadır. Fx→ ̴ Gx önermesini, anahtara göre incelediğimizde , önermenin “bazı çocuklar zeki değildir.” anlamına geldiği görülür. Benzer şekilde ((Fx˄Hx)→Kx) önermesinde de çok çalışan her çocuğun başarılı olabileceği belirtilmektedir. Son olarak çıkarım kısmı ise bazı çocukların zeki olmayıp başarılı olabileceğini söylemektedir.

Yanıt Açıklaması: Bir çıkarımın geçersiz olması, en az bir modelde tüm öncüllerin doğru olmasına karşın sonuç önermesinin yanlış olmasıdır.

Yanıt Açıklaması: z değişkeninin geçişi hiçbir ve nicelemesinin etki alanı altında olmadığından z değişken geçişleri serbesttir.

Yanıt Açıklaması: x (Fx ?Gx ) › Hx) önermesinde ad sembolü olmadığından yüklem sembollerini yerine yazarsak, x(( a matematikçidir )x ? (a fizikçidir) x) › (a ispat yapar)x) sonra a yerine x değişkeni konmasıyla, x(( x matematikçidir) ?((x fizikçidir)) › (x ispat yapar))) olur. Niceleyiciler ve önerme eklemlerini yerine yazar ve parantezler yerine noktalama işaretlerini yazarsak, Bazı matemetikçi veya fizikçi ise ispat yapar.

Yanıt Açıklaması: Tikel özelleme kuralının tümelözelleme kuralına önceliği vardır.

Yanıt Açıklaması:

Yanıt Açıklaması: “Bazı F ler G dir” önermesi, “Bazı şeyler, hem F dir hem de G dir” ya da, daha açık bir ifade ile, “Bazı şeyler için, o şey hem bir F hem de bir G dir” biçiminde yorumlanır ve ∃x (Fx ∧ Gx) biçiminde sembolleştirilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

Yanıt Açıklaması: Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik çıkarımın geçerli olduğunu göstermek için kök noktasından başlayarak, öncüllerde ve sonucun değilinde ad sembolleri yerine birer eleman yazarak oluşturulan ifadeleri yazarak oluşturulan çizelgede tüm dallar kapanmalıdır.

Yanıt Açıklaması: Bir kümenin eleman sayısı doğal sayı ise bu kümeye sonlu küme denir.

Yanıt Açıklaması: 1. adımda, verilen sembolik önermede, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış parantez olmadığından bu adımda yine ?x ((Fx ? Gx) ? Hx) önermesi elde edilir. 2. adımda, önermede ad sembolü olmadığından, bu adımda yapılması gereken bir şey yoktur. 3. adımda, yüklem sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yanına yüklemin uygulandığı değişkenleri koyarak, ?x (({a geçmişe takılmıştır}x ? {a insandır}x) ? {a depresyondadır}x) ifadesini elde ederiz. 4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesini koyarak, ?x ((x geçmişe takılmıştır ? x insandır) ? x depresyondadır) ifadesini elde ederiz. 5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini ve önerme eklemlerini koyarak, Bazı x ((x geçmişe takılmıştır ve x insandır) ve x depresyondadır) ifadesini elde ederiz. 6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek, Geçmişe takılmış bazı insanlar depresyondadır gündelik dil önermesini elde ederiz. Doğru cevap D seçeneğidir.

Yanıt Açıklaması: “Bir çocuk oyun oynarken düştü” ifadesindeki bir belirli bir çocuğu belirtmek için kullanılmıştır. Diğerlerinde ise her anlamına gelebilmektedir.

Yanıt Açıklaması: Bir çıkarımın öncüllerinin sonuç önermesinin değili ile birlikte tutarlı olduğunu ortaya koyan bir modele çıkarımın karşı modeli denir.

Yanıt Açıklaması: “Bazı F ler G dir” “Bazı şeyler, hem F dir hem de G dir” ya da daha açık bir ifade ile “Bazı şeyler için, o şey hem bir F hem de bir G dir” biçiminde yorumlanır ve x (Fx ˄ Gx) biçiminde sembolleştirilir.

Yanıt Açıklaması: Tikel-nicelemeli önermenin değillenmesi, “Bazı F G dir.” Önermesinin değili “Bazı F G değildir.” önermesi değil, “Hiç bir F G değildir.” önermesidir.